Векторное задание параболы

Наиболее общий способ задать уравнение пространственной кривой — параметрический где — гладкие функции параметра , причем условие регулярности.Касательная в точке кривой также может быть определена как предельное положение секущей, проходящей через и близкую к ней точку , когда стремится к .Тогда это движение в каждый момент времени состоит из поступательного вдоль касательной и мгновенного вращения с угловой скоростью вектор Дарбу. Часто удобно использовать инвариантную и компактную запись уравнения кривой с помощью вектор-функции , где в левой части стоит радиус-вектор точек кривой, а правая определяет его зависимость от некоторого параметра . Раскрыв эту запись в координатах, мы получаем формулу 1. В зависимости от свойств дифференцируемости функций , задающих кривую, говорят о степени гладкости регулярности кривой. Кривая называется регулярной, если для любой её точки, при подходящем выборе прямоугольной декартовой системы координат , она допускает в окрестности этой точки задание уравнениями вида , где и — дифференцируемые функции. В особых точках определяющие функции либо не удовлетворяют условиям регулярности, либо вообще не дифференцируемы. Важный класс кривых представляют плоские кривые, то есть кривые, лежащие в плоскости.Плоскую кривую также можно задать параметрически, первыми двумя из трёх уравнений 1. Другие способы Явное задание . Рассмотрим винтовую линию рис. Неявное задание .

Функции предполагаются непрерывно дифференцируемыми. При неявном задании точка кривой будет обыкновенной, если в её окрестности функция имеет непрерывные частные производные , не равные нулю одновременно. Приведём примеры особых точек для плоских кривых. Полукубическая парабола Обе производные равны нулю в начале координат. Это особая точка точка возврата первого рода, в ней вектор касательной скачкообразно меняет направление на противоположное.Единичные векторы , соответственно для касательной, главной нормали и бинормали кривой, при движении вдоль кривой изменяются.

Уравнение определяет кривую, состоящую из прямой и изолированной особой точки в начале координат. Лемниската Бернулли — особая точка при самопересечении. В особой точке функция дифференцируема, однако условие регулярности нарушено. Ряд основных понятий теории кривых вводится с помощью понятия соприкосновения множеств,которое состоит в следующем. Говорят, что множество имеет с в точке соприкосновение порядка , если при , где — расстояние точки множества от . В применении к кривым это означает следующее две кривые в общей точке имеют степень касания не ниже k-го порядка, если их производные в общей точке, до k-го порядка включительно, совпадают. Если в качестве взять кривую, а в качестве прямую, проходящую через точку кривой, то при условие соприкосновения определяет касательную к кривой в точке рис.Плоскость, перпендикулярная касательной в данной точке кривой, называется нормальной плоскостью; все нормали для данной точки лежат в нормальной плоскости.Параметрическое задание Явное задание Неявное задание Окружность, соприкасающаяся с кривой в заданной точке , имеет с кривой соприкосновение порядка рис.

Опубликовал: reyjay   |   Просмотров: 8732   |  

elctrodude2